Question

【题目】如图1， 在直角梯形中， ， ， ， 为线段的中点. 将沿折起，使平面 平面，得到几何体，如图2所示.

（1）求证: 平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）根据线面垂直的性质定理来证明线线垂直。

（2）

【解析】试题分析：解析：（1）在图1中， 可得， 从而，

故.

取中点连结， 则， 又面 面，

面 面 ， 面， 从而平面.

∴，又， .

∴平面.

（2）建立空间直角坐标系如图所示，

则， ， ， ，

.

设为面的法向量，则即， 解得. 令， 可得.

又为面的一个法向量，∴.

∴二面角的余弦值为.

（法二）如图，取的中点， 的中点，连结.

易知，又， ，又， .

又为的中位线，因， ， ，且都在面内，故，故即为二面角的平面角.

在中，易知；

在中，易知， .

在中.

故.

∴二面角的余弦值为.