Question

【题目】已知函数 ,其中 为自然对数的底数).

（1）讨论函数的单调性,并写出相应的单调区间；

（2）设,若函数对任意都成立,求的最大值.

Answer 1

【答案】(1) 当时，增区间为 ；当时，增区间为，减区间为 ；(2) .

【解析】试题分析：（1）通过函数，得，然后结合与0的关系对a的正负进行讨论即可；（2）对a的正负进行讨论：当a<0时， 不可能恒成立；当a=0时，此时ab=0；当a＞0时，由题结合（1）得，设，问题转化为求的最大值，利用导函数即可．

试题解析：：（1）由函数，可知，

时， ，函数在R上单调递增；

当时，令，得，

故当时， ，此时单调递减；

当时， ，此时单调递增．

综上所述，当时，函数在单调递增区间为；

当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

（2）由（1）知，当时，函数在R上单调递增且当时， 不可能恒成立；

当a=0时，此时ab=0；

当a>0时，由函数对任意x∈R都成立，可得，

∵，

设，则，

由于，令，得

时， 单调递增；

时， 单调递减．

，即当时，ab的最大值为．