Question

3．已知函数y=${{log}^{2}}_{\frac{1}{3}}x$${+log}_{\frac{1}{3}}x$，
（1）当0≤log₃x≤2时，求函数y的值域：
（2）求函数y的递减区间．

Answer 1

分析 （1）化简函数，利用配方法，结合0≤log₃x≤2，求函数y的值域：
（2）根据二次函数、对数函数的单调性求函数y的递减区间．

解答 解：（1）y=${{log}^{2}}_{\frac{1}{3}}x$${+log}_{\frac{1}{3}}x$=（log₃x）²-log₃x=（log₃x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∵0≤log₃x≤2，∴y∈[-$\frac{1}{4}$，2]；
（2）由（1）可得log₃x≤$\frac{1}{2}$，∴0＜x≤$\sqrt{3}$，
∴函数y的递减区间是（0，$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查二次函数、对数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．