Question

14．已知圆C：x²+y²=4，点P为直线x+2y-9=0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点（　　）

• A． $（\frac{4}{9}，\frac{8}{9}）$
• B． $（\frac{2}{9}，\frac{4}{9}）$
• C． （2，0）
• D． （9，0）

Answer 1

分析 根据题意设P的坐标为P（9-2m，m），由切线的性质得点A、B在以OP为直径的圆C上，求出圆C的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦AB所在的直线方程，再求出直线AB过的定点坐标．

解答 解：因为P是直线x+2y-9=0的任一点，所以设P（9-2m，m），
因为圆x²+y²=4的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，
所以OA⊥PA，OB⊥PB，
则点A、B在以OP为直径的圆上，即AB是圆O和圆C的公共弦，
则圆心C的坐标是（$\frac{9-2m}{2}$，$\frac{m}{2}$），且半径的平方是r²=$\frac{（9-2m）^{2}+{m}^{2}}{4}$，
所以圆C的方程是（x-$\frac{9-2m}{2}$）²+（y-$\frac{m}{2}$）²=$\frac{（9-2m）^{2}+{m}^{2}}{4}$，①
又x²+y²=4，②，
②-①得，（2m-9）x-my+4=0，即公共弦AB所在的直线方程是：（2m-9）x-my+4=0，
即m（2x-y）+（-9x+4）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=0}\\{-9x+4=0}\end{array}\right.$得x=$\frac{4}{9}$，y=$\frac{8}{9}$，
所以直线AB恒过定点（$\frac{4}{9}$，$\frac{8}{9}$），
故选A．

点评 本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直线过定点问题，属于中档题．