Question

9．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB=1，AC=$\sqrt{7}$，△ABC的面积S_△ABC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，DC=$\frac{{4\sqrt{7}}}{5}$
（Ⅰ）求BC的长；
（Ⅱ）求∠ACD的大小．

Answer 1

分析 设∠BAC=α，∠CAD=β，由条件可得$α+β=\frac{π}{2}$，
（1）由题意和三角形的面积公式求出sinα，由条件和平方关系求出cosα，由余弦定理求出BC的值；
（2）由条件和诱导公式求出sinβ，由条件和平方关系求出cosβ，由条件和正弦定理求出sinD，由平方关系求出cosD，由两角和的正弦公式求出sin∠ACD，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出∠ACD．

解答 解：设∠BAC=α，∠CAD=β，因AB⊥AD，则$α+β=\frac{π}{2}$，
（1）在△ABC中，S_△ABC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
所以$S=\frac{1}{2}AB×AC×sinα=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，解得$sinα=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
则$cosα=\sqrt{1-{{（\frac{{\sqrt{21}}}{7}）}^2}}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$…（3分）
由余弦定理得BC²=AB²+AC²-2AB×AC×cosα=4，
即BC=2； …（6分）
（2）∵$sinβ=sin（\frac{π}{2}-α）=cosα=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，
∴$cosβ=\sqrt{1-{{sin}^2}β}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，…（8分）
在△ACD中，由正弦定理得$\frac{AC}{sinD}=\frac{DC}{sinβ}$得：
$sinD=\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$，则$cosD=\sqrt{1-{{sin}^2}D}=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$…（10分）
∴sin∠ACD=sin[π-（β+D）]=sin（β+D）
=sinβcosD+sinDcosβ=$\frac{2\sqrt{7}}{7}×\frac{\sqrt{21}}{14}+\frac{5\sqrt{7}}{14}×\frac{\sqrt{21}}{7}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因为$0＜∠ACD＜\frac{π}{2}$，所以$∠ACD=\frac{π}{3}$． …（12分）

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，以及两角和的正弦公式等公式的应用，注意角的范围，考查化简、变形能力．