Question

4．已知$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，|$\overrightarrow{AB}$|=$\frac{1}{t}$，|$\overrightarrow{AC}$|=t，若P点是△ABC所在平面内一点，且$\overrightarrow{AP}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，当t变化时，$\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PC}$的最大值等于（　　）

• A． -2
• B． 0
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，推导出B（$\frac{1}{t}$，0），C（0，t），P（1，1），从而$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{1}{t}-1$，-1），$\overrightarrow{PC}$=（-1，t-1），由此能求出$\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PC}$的最大值．

解答 解：以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，
∵$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，|$\overrightarrow{AB}$|=$\frac{1}{t}$，|$\overrightarrow{AC}$|=t，∴B（$\frac{1}{t}$，0），C（0，t），
∵P点是△ABC所在平面内一点，且$\overrightarrow{AP}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=（1，0）+（0，1）=（1，1），即P（1，1），
∴$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{1}{t}-1$，-1），$\overrightarrow{PC}$=（-1，t-1），
∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=-$\frac{1}{t}$+1-t+1=2-（$\frac{1}{t}+t$），
∵$\frac{1}{t}+t≥2\sqrt{\frac{1}{t}•t}$=2，
∴$\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PC}$的最大值等于0，
当且仅当t=$\frac{1}{t}$，即t=1时，取等号．
故选：B．

点评 本题考查向量的数量积的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则的合理运用．