题目内容
6．如果定义在R上的函数f（x）满足：对于任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1），则称f（x）为“H函数”．给出下列函数：①y=-x3+x+l；
②y=3x-2（sinx-cosx）；
③y=l-ex；
④f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx（x≥1）}\\{0（x＜1）}\end{array}\right.$，
其中“H函数”的个数有（ ）
| A． | 3个 | B． | 2个 | C． | 1个 | D． | 0个 |
分析 根据题意，将x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1）变形可得[f（x1）-f（x2）]（x1-x2）≥0，进而分析可得若函数f（x）为“H函数”，则函数f（x）为增函数或常数函数；据此依次分析所给函数的单调性，综合可得答案．
解答 解：根据题意，对于x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1），
则有f（x1）（x1-x2）-f（x2）（x1-x2）≥0，
即[f（x1）-f（x2）]（x1-x2）≥0，
分析可得：若函数f（x）为“H函数”，则函数f（x）为增函数或常数函数；
对于①、y=-x3+x+l，有y′=-3x2+l，不是增函数也不是常数函数，则其不是“H函数”，
对于②、y=3x-2（sinx-cosx）；有y′=3-2（sinx+cosx）=3-2$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），有y′≥0，
y=3x-2（sinx-cosx）为增函数，则其是“H函数”，
对于③、y=l-ex=-ex+1，是减函数，则其不是“H函数”，
对于④、f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx（x≥1）}\\{0（x＜1）}\end{array}\right.$，当x＜1时是常数函数，当x≥1时是增函数，则其是“H函数”，
故“H函数”有2个，
故选：B．
点评 本题考查函数单调性的判定与应用，关键是依据x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1），判断出函数的单调性．
练习册系列答案
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| C． | $?{x_0}∈（1，+∞），x_0^2+2{x_0}+2＞0$ | D． | $?{x_0}∈（{-∞，1}]，x_0^2+2{x_0}+2＞0$ |
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