Question

5． 如图，三棱锥A-BCD中，DC⊥BD，BC=2$\sqrt{3}$，CD=AC=2，AB=AD=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）证明：AB⊥CD；
（Ⅱ）求直线AC与平面ABD所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AC⊥CD，DC⊥BC，从而DC⊥平面ABC，由此能证明AB⊥CD．
（Ⅱ）推导出BA⊥AC，DC⊥平面ABC，设点C到平面ABD的距离为h，CA与平面ABD所成角为θ，由V_C-ABD=V_D-ABC，求出h=$\sqrt{2}$，由此能求出AC与平面ABD所有的角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）在△ACD中，AC=CD=2，AD=2$\sqrt{2}$，
∴AC²+CD²=AD²，∴AC⊥CD，
又∵DC⊥BC，且AC∩BC=C，
∴DC⊥平面ABC，
又∵AB?平面ABC，∴AB⊥CD．
解：（Ⅱ）在△ABC中，AC=2，AB=2$\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{3}$，
∴BC²=AB²+AC²，∴BA⊥AC，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×AC$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2=2\sqrt{2}$，
由（Ⅰ）可知DC⊥平面ABC，
∴V_D-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}×DC$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×2$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
在Rt△BDC中，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}$=4，
在△ABD中，AB=AD=2$\sqrt{2}$，
∴AB²+AD²=BD²，∴AB⊥AD，
∴${S}_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×AD=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=4，
设点C到平面ABD的距离为h，CA与平面ABD所成角为θ，
∵V_C-ABD=V_D-ABC，∴$\frac{1}{3}×4×h=\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴h=$\sqrt{2}$，
∴sinθ=$\frac{h}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即AC与平面ABD所有的角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．