Question

19．已知$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为120°，若$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）$，且$|\overrightarrow a|=2$，则$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$方向上的正射影的数量为$-\frac{{\sqrt{33}+1}}{8}$．

Answer 1

分析 $（\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）$，可得$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$•$（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-2${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，可得$|\overrightarrow{b}|$，即可得出．

解答 解：∵$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）$，
∴$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$•$（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-2${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
∵$|\overrightarrow{a}|$=2，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$cos120°=-$|\overrightarrow{b}|$，
∴4+$|\overrightarrow{b}|$-2$|\overrightarrow{b}{|}^{2}$=0，
解得$|\overrightarrow{b}|$=$\frac{\sqrt{33}+1}{4}$．
∴$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$方向上的正射影的数量=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|}$=$|\overrightarrow{b}|cos12{0}^{°}$=$-\frac{{\sqrt{33}+1}}{8}$，
故答案为：$-\frac{{\sqrt{33}+1}}{8}$．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、数量积运算性质、向量的投影，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．