Question

9．如图所示，在△ABC中，∠BAC=60°，线段AD⊥平面ABC，AH⊥平面DBC，H为垂足．求证：H不可能是△BCD的垂心．

Answer 1

分析 证明“不可能”无法下手，从反面“可能”考虑，用反证法证明．

解答 证明：假设H是△BCD的垂心，则BH⊥CD．
∵AH⊥平面DBC，DC?平面DBC，∴AH⊥DC．
∵AH∩BH=H，∴CD⊥平面ABH．
又AB?平面ABH，∴CD⊥AB．
∵AD⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴AD⊥AB．
由于AD∩CD=D，∴AB⊥平面ACD．
∵AC?平面ACD，∴AB⊥AC．这与已知中∠BAC=60°相矛盾．
∴假设不成立．
故H不可能是△BCD的垂心

点评 （1）“不可能”类型的问题用反证法证明．“不可能”的反面是“可能”；（2）注意反证法的证题过程．实际上∠BAC只要不是90°，这个题型的方法总是一样的．