Question

7．求下列函数在给定区间上的值域：
（1）y=$\frac{3x-2}{x+3}$；（x∈[-2，4]）
（2）y=${4}^{x+\frac{1}{2}}$-6•2^x+1，x∈[-1，2]．

Answer 1

分析 （1）变形y=$\frac{3（x+3）-11}{x+3}$=3-$\frac{11}{x+3}$，利用反比例函数的单调性即可得出；
（2）化简y=f（x）=2•（2^x）²-6•2^x+1=2$（{2}^{x}-\frac{3}{2}）^{2}$-$\frac{7}{2}$，利用指数函数与二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）y=$\frac{3（x+3）-11}{x+3}$=3-$\frac{11}{x+3}$，
∵x∈[-2，4]，∴$\frac{1}{x+3}$∈$[\frac{1}{7}，1]$，
∴y∈$[-8，\frac{10}{7}]$．
（2）y=f（x）=2•（2^x）²-6•2^x+1=2$（{2}^{x}-\frac{3}{2}）^{2}$-$\frac{7}{2}$，
∵x∈[-1，2]，∴2^x∈$[\frac{1}{2}，4]$，
∴当2^x=$\frac{3}{2}$时，f（x）d的最小值为$-\frac{7}{2}$，
又f（-1）=-$\frac{3}{2}$，f（2）=9，因此f（x）的最大值为9．
∴函数f（x）的值域为$[-\frac{7}{2}，9]$．

点评 本题考查了反比例函数、指数函数与二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．