Question

14．设c＞0，命题P：y=log_cx是减函数；命题Q：2^x-1+2c＞0对任意x∈R恒成立．若P或Q为真，P且Q为假，试求c的取值范围．

Answer 1

分析 根据函数性质求出命题P，Q成立的等价条件，结合复合命题真假之间的关系进行求解即可．

解答 解：若y=log_cx是减函数，则0＜c＜1，
即P真：0＜c＜1，
若2^x-1+2c＞0对任意x∈R恒成立，
则2c＞1-2^x，
∵2^x＞0，∴-2^x＜0，1-2^x＜1，
即2c＞1，则$c＞\frac{1}{2}$，
即Q真：$c＞\frac{1}{2}$，
若P或Q为真，P且Q为假，
则P，Q一真一假，
若P真Q假，则$\left\{\begin{array}{l}{0＜c＜1}\\{0＜c≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，则0＜c≤$\frac{1}{2}$，
若Q真P假，则$\left\{\begin{array}{l}{c＞\frac{1}{2}}\\{c≥1}\end{array}\right.$，则c≥1，
综上c的取值范围$（0，\frac{1}{2}]∪[1，+∞）$．

点评 本题主要考查复合命题真假关系的判断和应用，根据函数的性质求出命题的等价条件是解决本题的关键．