题目内容
已知f（x）=loga
（a＞0且a≠1）．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若a＞1，求f（x）的单调区间并指出增减性；
（3）若a=2，且x∈[-
，-2）∪（-1，0]，求f（x）的值域．
| x+2 |
| x+1 |
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若a＞1，求f（x）的单调区间并指出增减性；
（3）若a=2，且x∈[-
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考点：对数函数的图像与性质
专题：函数的性质及应用
分析：（1）分类讨论a的取值，然后求解；
（2）根据复合函数的单调性的判断方法进行判断；
（3）根据复合函数的方法求值域．
（2）根据复合函数的单调性的判断方法进行判断；
（3）根据复合函数的方法求值域．
解答：
解：（1）当a＞1时，原不等式可化为：
＞1，
∴f（x）＞0的解集是（-1，+∞）；
当0＜a＜1时，原不等式可化为：0＜
＜1，
∴f（x）＞0的解集是（-∞，-2）；
（2）∵
＞0，
∴x＜-2或x＞-1，
a＞1时，f（x）=loga
=log a(1+
)，
∴原函数的单调减区间是（-∞，-2），（-1，+∞）；
（3）当a=2，f（x）=log 2
=log 2(1+
)，
当x∈[-
，-2）∪（-1，0]，
∴1+
∈（0，
]∪[2，+∞），
∴函数的值域是：（-∞，-3]∪[1，+∞）．
| x+2 |
| x+1 |
∴f（x）＞0的解集是（-1，+∞）；
当0＜a＜1时，原不等式可化为：0＜
| x+2 |
| x+1 |
∴f（x）＞0的解集是（-∞，-2）；
（2）∵
| x+2 |
| x+1 |
∴x＜-2或x＞-1，
a＞1时，f（x）=loga
| x+2 |
| x+1 |
| 1 |
| x+1 |
∴原函数的单调减区间是（-∞，-2），（-1，+∞）；
（3）当a=2，f（x）=log 2
| x+2 |
| x+1 |
| 1 |
| x+1 |
当x∈[-
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∴1+
| 1 |
| x+1 |
| 1 |
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∴函数的值域是：（-∞，-3]∪[1，+∞）．
点评：本题主要考查对数不等式、复合函数的单调性及其值域．
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