Question

已知椭圆中心在原点，左焦点与双曲线x²-y²=2的左顶点重合，离心率e=

6

3

．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知直线l与椭圆相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，试探究点O到直线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设出椭圆的标准方程，由双曲线方程求出c，结合离心率求得a，再由隐含条件求出b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立直线方程和椭圆方程得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求得P，Q两点横纵坐标的积，由OP⊥OQ列式求得k与m的关系，然后由点到直线的距离公式求出点O到直线l的距离；当直线l的斜率不存在时，由椭圆的对称性结合OP⊥OQ直接求得P，Q的坐标，求得点O到直线l的距离．

解答： 解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵双曲线x²-y²=2的左顶点为(-

2

，0)，∴c=

2

，
由e=

c

a

=

6

3

得a=

3

6

c=

3

，b2=a2-c2=1，
故椭圆的方程为

x2

3

+y2=1；
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
y=kx+m，点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

x2 3 +y2=1 y=kx+m

 整理得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0．
∴x1+x2=

3m2-3

1+3k2

，x1x2=

-6km

1+3k2

，
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2•

3m2-3

1+3k2

+km•

-6km

1+3k2

+m2=

m2-3k2

1+3k2

．
∵

OP

⊥

OQ

，
∴x1x2+y1y2=

4m2-3k2-3

1+3k2

=0，
即4m²-3k²-3=0，∴m2=

3k2+3

4

．
设原点O到直线l的距离为d，
则d=

|m|

1+k2

=

m2 1+k2

=

3k2+3 4(1+k2)

=

3

2

．
当直线l的斜率不存在时，
∵

OP

⊥

OQ

，根据椭圆的对称性，不妨设直线OP，OQ的方程分别为y=x，y=-x，
可得P(-

3

2

，-

3

2

)，Q(-

3

2

，

3

2

)或P(

3

2

，

3

2

)，Q(

3

2

，-

3

2

)．
此时，原点O到直线l的距离仍为

3

2

．
综上可得，点O到直线l的距离为定值

3

2

．

点评：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是压轴题．