Question

20．如图△ABC，点D是BC中点，$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，CF和AD交于点E，设$\overrightarrow{AD}$=a，$\overrightarrow{AB}$=b．
（1）以a，b为基底表示向量$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{FC}$．
（2）若$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{AD}$，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量的加减的几何意义即可求出，
（2）根据向量共线定理即可求出．

解答 解：（1）因为点D是BC中点，
所以2$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{b}$，即$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，
所以$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$-$\frac{2\overrightarrow{b}}{3}$=2$\overrightarrow{a}$-$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{b}$，
（2）$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{AD}$=$\frac{λ}{2}$（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{λ}{2}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{3λ}{4}$$\overrightarrow{AF}$，
因为点C，E，F共线，所以$\frac{λ}{2}$+$\frac{3}{4}$λ=1，所以λ=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查平面向量的基本定理及其意义，考查学生的计算能力，比较基础．