Question

12．已知函数f（x）=（$\frac{1}{{a}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）x³（a＞0，a≠1）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性；
（2）求a的取值范围，使f（x）+f（2x）＞0在其定义域上恒成立．

Answer 1

分析 （1）由可推知f（-x）=f（x），从而可判断函数f（x）的奇偶性；
（2）利用（1）知f（x）为偶函数，可知当x∈（0，+∞）时，x³＞0，从而可判知，要使f（x）+f（2x）＞0在其定义域上恒成立，只需当a＞1时即可．

解答 解：（1）定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
∵f（-x）=（$\frac{1}{{a}^{-x}-1}$+$\frac{1}{2}$）（-x）³=-（$\frac{{a}^{x}}{1-{a}^{2}}$+$\frac{1}{2}$）x³=（$\frac{1}{{a}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）=f（x）
∴f（x）是偶函数．
（2）∵函数f（x）在定义域上是偶函数，
∴函数y=f（2x）在定义域上也是偶函数，
∴当x∈（0，+∞）时，f（x）+f（2x）＞0可满足题意，
∵当x∈（0，+∞）时，x³＞0，
∴只需$\frac{1}{{a}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{（{a}^{x}）^{2}-1}$+$\frac{1}{2}$＞0，即$\frac{{a}^{2x}+{a}^{x}+1}{{a}^{2x}-1}$＞0，
∵a^2x+a^x+1＞0，
∴（a^x）²-1＞0，解得a＞1，
∴当a＞1时，f（x）+f（2x）＞0在定义域上恒成立．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查函数单调性的判断与证明，考查函数奇偶性的运用，突出转化思想与分析法的应用，属于中档题．