Question

给出下列命题：
①已知集合M满足∅?M⊆{1，2，3，4，}，且M中至多有一个偶数，这样的集合M有6个；
②函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2，在区间（-∞，4）上为减函数，则a的取值范围为0≤a≤

1

5

；
③已知函数f（x）=

x

x+1

，则f(2)+f(3)+…+f(61)+f(

1

2

)+f(

1

3

)+…+f(

1

61

)=60；
④如果函数y=f（x）的图象关于y轴对称，且f（x）=（x-2014）²+1（x≥0），
则当x＜0时，f（x）=（x+2014）²-1；
其中正确的命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,阅读型,函数的性质及应用,集合

分析：由集合的列举法，即可判断①；讨论a=0，a＞0，结合二次函数的单调性，即可判断②；
求出f（x）+f（

1

x

）=

x

1+x

+

1

x+1

=1，即可判断③；函数y=f（x）的图象关于y轴对称，则f（-x）=f（x），当x＜0时，-x＞0，代入已知函数式，化简即可判断④．

解答： 解：对于①，集合M满足∅?M⊆{1，2，3，4，}，且M中至多有一个偶数，
列举为{1}，{3}，{1，3}，{2}，{4}，{1，2}，{2，3}，{1，2，3}，{1，4}，{3，4}，{1，4，3}共11个，故①错；
对于②，函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2，在区间（-∞，4）上为减函数，
则a=0或a＞0，且-1+

1

a

≥4，解得0≤a≤

1

5

，故②对；
对于③，函数f（x）=

x

x+1

，则f（x）+f（

1

x

）=

x

1+x

+

1

x+1

=1，
故f(2)+f(3)+…+f(61)+f(

1

2

)+f(

1

3

)+…+f(

1

61

)=60，则③对；
对于④，函数y=f（x）的图象关于y轴对称，且f（x）=（x-2014）²+1（x≥0），
则当x＜0时，-x＞0，f（-x）=（-x-2014）²+1=f（x），则f（x）=（x+2014）²+1，故④错．
故答案为：②③．

点评：本题考查集合的表示方法，函数的奇偶性和单调性及对称性和运用，考查运算能力，属于中档题．