Question

15．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，点M在线段EC上．
（Ⅰ）当点M为EC中点时，求证：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$时，求棱锥M-BDE的体积．

Answer 1

分析 （I）取DE中点N，连接MN，AN，由三角形中位线定理，结合已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，易得四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN，再由线面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，利用二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$，求出M的坐标，即可求三棱锥M-BDE的体积．

解答 （Ⅰ）证明：取DE中点N，连接MN，AN．
在△EDC中，M、N分别为EC，ED的中点，
所以MN∥CD，且MN=$\frac{1}{2}$CD．
由已知AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD，
所以MN∥AB，且MN=AB．
所以四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN
又因为AN?平面ADEF，且BM?平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）解：以直线DA、DC、DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，2）．
设M（x，y，z），则$\overrightarrow{EM}$=（x，y，z-2），
又$\overrightarrow{EC}$=（0，4，-2），设$\overrightarrow{EM}$=λ$\overrightarrow{EC}$（0＜λ＜1），则X=0，Y=4λ，Z=2-2λ，即m（0，4λ，2-2λ）．
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面BDM的法向量，则$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y=0}\\{4λy+（2-2λ）z=0}\end{array}\right.$
取x=1得平面BDM的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，-1，$\frac{2λ}{1-λ}$）．
由题可知，$\overrightarrow{OA}$=（2，0，0）是平面ABF的一个法向量．
因此，cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{2}{2\sqrt{2+\frac{4{λ}^{2}}{（1-λ）^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
所以λ=$\frac{1}{2}$，
即点M为EC中点．此时，S_△DEM=2，AD三棱锥B-DEM的高，
所以，V_M-BDE=V_B-DEM=$\frac{1}{3}•2•2=\frac{4}{3}$．

点评 本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，熟练掌握利用向量知识解决立体几何问题是解答本题的关键．