Question

已知∠AOB=

π

3

，动点P是∠AOB内的点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，若四边形OMPN的面积等于

3

，则线段OP的长度的最小值等于

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值,三角形的面积公式

专题：计算题,解三角形

分析：设OP=x且∠POM=θ，可得∠PON=

π

3

-θ（0＜θ＜

π

3

），利用三角函数的定义算出PM、OM用x与θ表示的式子，得到S_△PMO=

1

2

x²sinθcosθ，同理得到S_△PNO=

1

2

x²sin（

π

3

-θ）cos（

π

3

-θ）．根据四边形OMPN的面积等于

3

建立关于x、θ的等式，利用三角恒等变换化简得x²sin（2θ+

π

6

）=4，再根据三角函数的值域加以计算，可得θ=

π

6

时x有最小值为2，从而得到答案．

解答： 解：设OP=x，∠POM=θ，则∠PON=

π

3

-θ，（0＜θ＜

π

3

）
∵Rt△PMO中，sinθ=

PM

OP

，cosθ=

OM

OP

，
∴PM=OPsinθ=xsinθ，OM=OPcosθ=xcosθ．
由此可得S_△PMO=

1

2

PM×OM=

1

2

x²sinθcosθ．
同理可得S_△PNO=

1

2

PN×ON=

1

2

x²sin（

π

3

-θ）cos（

π

3

-θ）．
∵四边形OMPN的面积等于

3

，
∴S_△PMO+S_△PNO=

3

，即

1

2

x²sinθcosθ+

1

2

x²sin（

π

3

-θ）cos（

π

3

-θ）=

3

，
可得x²[sin2θ+sin（

2π

3

-2θ）]=4

3

，
即x²（

3

2

cos2θ+

3

2

sin2θ）=4

3

，化简得x²sin（2θ+

π

6

）=4，
∵0＜θ＜

π

3

，得2θ+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
∴当且仅当2θ+

π

6

=

π

2

时，即θ=

π

6

时，sin（2θ+

π

6

）有最大值为1，
因此x²=

4

sin(2θ+ π 6 )

在θ=

π

6

时，有最小值为4，可得x的最小值为2．
综上所述，可得线段OP的长度的最小值等于2．
故答案为：2

点评：本题给出实际应用问题，求线段OP长的最小值．着重考查了三角函数的定义、三角形面积公式、三角恒等变换与三角函数的值域与最值等知识，属于中档题．