Question

16．已知函数f（x）=xlnx+ax²-1，且f′（1）=-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）-mx≤-1，求m的最小值；
（Ⅲ）证明：函数y=f（x）-xe^x+x²的图象在直线y=-2x-1的下方．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1）=-1，求出a的值，从而求出函数的表达式即可；
（Ⅱ）问题转化为对于任意x∈（0，+∞），都有lnx-x≤m，设g（x）=lnx-x，根据函数的单调性求出m的最小值即可；
（Ⅲ）问题转化为证xlnx-xe^x+2x＜0，即只要证lnx＜e^x-2，根据g（x）=lnx-x≤-1，即lnx≤x-1，问题转化为只要证明当x∈（0，+∞）时，x-1＜e^x-2 即可，设h（x）=（e^x-2）-（x-1）=e^x-x-1，根据函数的单调性求出h（x）的单调性，从而证出结论．

解答 （Ⅰ）解：对f（x） 求导，得f′（x）=1+lnx+2ax，
所以f′（1）=1+2a=-1，解得a=-1，
所以f（x）=xlnx-x²-1；
（Ⅱ）解：由f（x）-mx≤-1，得xlnx-x²-mx≤0，
因为x∈（0，+∞），
所以对于任意x∈（0，+∞），都有lnx-x≤m，
设g（x）=lnx-x，则 g′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
令g′（x）＞0，解得：x＜1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
所以g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
所以当x=1时，g（x）max=g（1）=-1，
因为对于任意x∈（0，+∞），都有g（x）≤m 成立，
所以 m≥-1
所以m 的最小值为-1；
（Ⅲ）证明：“函数y=f（x）-xe^x+x²的图象在直线y=-2x-1的下方”
等价于“f（x）-xe^x+x²+2x+1＜0”，
即要证xlnx-xe^x+2x＜0，
所以只要证lnx＜e^x-2．
由（Ⅱ），得g（x）=lnx-x≤-1，即lnx≤x-1（当且仅当x=1时等号成立）．
所以只要证明当x∈（0，+∞）时，x-1＜e^x-2 即可，
设h（x）=（e^x-2）-（x-1）=e^x-x-1，
所以h′（x）=e^x-1，
令h′（x）=0，解得：x=0
由h′（x）＞0，得x＞0，所以h（x） 在（0，+∞）上为增函数．，
所以h（x）＞h（0）=0，即x-1＜e^x-2，
所以lnx＜e^x-2，
故函数y=f（x）-xe^x+x²的图象在直线y=-2x-1的下方．

点评 本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．