题目内容
11．若函数f（x）=x2+bx+c（b、c∈R）在区间（0，1）上有两个零点，则（1+b）c+c2的取值范围是（0，$\frac{1}{16}$）．分析 若函数f（x）在区间（0，1）上有两个零点，为x1，x2（0＜x1＜x2＜1），即f（0）=c=x1x2＞0，f（1）=1+b+c=（1-x1）（1-x2）＞0，进而结合基本不等式可得c2+﹙1+b﹚c的范围即可．
解答 解：f（x）=x2+bx+c的两个零点为x1，x2，
不妨设为：0＜x1＜x2＜1，
则f（x）=（x-x1）（x-x2）．
又f（0）=c=x1x2＞0，f（1）=1+b+c=（1-x1）（1-x2）＞0
∴c（1+b+c）=f（0）f（1），
而0＜f（0）f（1）=x1x2（1-x1）（1-x2）＜${（\frac{{x}_{1}+1{-x}_{1}}{2}）}^{2}$${（\frac{{x}_{2}+1{-x}_{2}}{2}）}^{2}$=$\frac{1}{16}$，
即c（1+b+c）=c2+﹙1+b﹚c＜$\frac{1}{16}$，
故答案为：（0，$\frac{1}{16}$）．
点评 本题考查了二次函数的性质，基本不等式的性质，是一道中档题．
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