Question

14．已知函数$f（{x^2}-1）={log_m}\frac{{2-{x^2}}}{x^2}（m＞1）$
（1）求f（x）的解析式，并判断f（x）的奇偶性；
（2）比较$f（ln\sqrt{e}）$与$f（\frac{1}{3}）$的大小，并写出必要的理由．

Answer 1

分析 （1）利用换元法以及函数奇偶性的定义即可求f（x）的解析式并判断f（x）的奇偶性；
（2）利用对数函数的性质，进行比较即可．

解答 解：（1）设x²-1=t（t≥-1），则x²=t+1，
则f（t）=log_m$\frac{1-t}{1+t}$，
即f（x）=log_m$\frac{1-x}{1+x}$，x∈（-1，1），
设x∈（-1，1），则-x∈（-1，1），
则f（-x）=log_m$\frac{1+x}{1-x}$=-log_m$\frac{1-x}{1+x}$=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
（2）$f（ln\sqrt{e}）$=f（$\frac{1}{2}$）=log_m$\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$=log_m$\frac{1}{3}$，
$f（\frac{1}{3}）$=log_m$\frac{1-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}$=log_m$\frac{1}{2}$，
∵m＞1，
∴y=log_mx为增函数，
∴log_m$\frac{1}{2}$＞log_m$\frac{1}{3}$，
即$f（ln\sqrt{e}）$＜$f（\frac{1}{3}）$．

点评 本题主要考查函数解析式的求解以及函数奇偶性的判断，根据对数函数的性质是解决本题的关键．