Question

2．二次函数y=ax²+x+1（a＞0）的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x₁，x₂．
（1）证明：（1+x₁）（1+x₂）=1；
（2）证明：x₁＜-1，x₂＜-1；
（3）若x₁，x₂满足不等式|lg$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$|≤1，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据韦达定理求出x₁+x₂，x₁•x₂的值，证明即可；
（2）由△＞0，求出a的范围，从而证出结论；
（3）求出x₂=-$\frac{{x}_{1}}{1{+x}_{1}}$，由$\frac{1}{10}$≤$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$≤10，得到$\frac{1}{10}$≤-（1+x₁）≤10，求出a的范围即可．

解答 （1）证明：由题意得：
x₁+x₂=-$\frac{1}{a}$，x₁•x₂=$\frac{1}{a}$，
∴（1+x₁）（1+x₂）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=1；
（2）证明：由△=1-4a＞0，解得：a＜$\frac{1}{4}$，
∵（1+x₁）（1+x₂）=1＞0，
而（1+x₁）（1+x₂）=x₁+x₂+2=-$\frac{1}{a}$+2＜-4+2＜0，
∴1+x₁＜0，1+x₂＜0，
故x₁＜-1，x₂＜-1；
（3）解：x₂=-$\frac{{x}_{1}}{1{+x}_{1}}$，|lg$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$|≤1，
∵$\frac{1}{10}$≤$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$≤10，
∴$\frac{1}{10}$≤-（1+x₁）≤10，
∴-11≤x₁≤-$\frac{11}{10}$，
a=$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$=-（$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{x}_{1}}$）=-${（\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{4}$，
当$\frac{1}{{x}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$时，
a的最大值是$\frac{1}{4}$，
当$\frac{1}{{x}_{1}}$=-$\frac{1}{11}$时，
a的最小值是$\frac{10}{121}$，
故a的范围是[$\frac{10}{121}$，$\frac{1}{4}$]．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．