Question

已知数列满足，，．
（1）若成等比数列，求的值；
（2）是否存在，使数列为等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）；（2）存在，当a₁＝1时，数列{a_n}为等差数列．

试题分析：（1）首先利用递推公式把都用表示，再根据成等比数列，列方程解出的值.（2）对于这类开放性问题，处理的策略就是先假设存在a₁，使数列{a_n}为等差数列，与（1）类似，根据成等差数列，有，从面得到关于的方程，方程若有解则存在，否则可认为不存在a₁，使数列{a_n}为等差数列.
试题解析：（1）∵0＜a₁＜2，
∴a₂＝2－|a₁|＝2－a₁，a₃＝2－|a₂|＝2－|2－a₁|＝2－(2－a₁)＝a₁．
∵a₁，a₂，a₃成等比数列，
∴a₂²＝a₁a₃，即(2－a₁)²＝a₁²，
解得a₁＝1．                            6分
（2）假设这样的等差数列存在，则
由2a₂＝a₁＋a₃，得2(2－a₁)＝2a₁，
解得a₁＝1．
从而a_n＝1（n∈N^*），此时{a_n}是一个等差数列；
因此，当且仅当a₁＝1时，数列{a_n}为等差数列．           12分