Question

5．已知抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴是x轴，它的弦PQ所在直线的方程为y=2x-1，弦长等于$\sqrt{15}$，求抛物线的C方程．

Answer 1

分析 由y=2x-1代入y²=2px，得4x²+（-4-2p）x+1=0，利用韦达定理，弦长公式，即可得出结论．

解答 解：设抛物线方程为y²=2px（p≠0），
由y=2x-1代入y²=2px，得4x²+（-4-2p）x+1=0，…（4分），
∴x₁+x₂=$\frac{2p+4}{4}$，x₁x₂=$\frac{1}{4}$，…（5分）
由△=（-4-2p）²-16＞0得p＜-4或p＞0．…（7分）
弦长|AB|=$\sqrt{5}•\sqrt{（\frac{2p+4}{4}）^{2}-1}$=$\sqrt{15}$．…（9分）
解得p=-6或p=2，…（11分）
所以抛物线方程为y²=-12x或y²=4x．…（12分）

点评 本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．