Question

17．正四面体的棱长为4$\sqrt{6}$，顶点都在同一球面上，则该球的表面积为144π．

Answer 1

分析 正四面体A-BCD中，过D作DE⊥BC，交BC于E，过点A作AF⊥平面BCD，交DE于F，连结AE，设O为正四面体A-BCD的外接球的球心，则O在AF上，连结OD，设球O的半径OA=OC=R，推导出R²=（8-R）²+（4$\sqrt{2}$）²，由此能求出R，从而能求出该球的表面积．

解答 解：过D作DE⊥BC，交BC于E，过点A作AF⊥平面BCD，交DE于F，连结AE，
设O为正四面体A-BCD的外接球的球心，则O在AF上，连结OD，
∵正四面体A-BCD的棱长为4$\sqrt{6}$，
∴E是BC中点，F是△BCD重心，
∴DF=$\frac{2}{3}DE=\frac{2}{3}\sqrt{96-24}=4\sqrt{2}$，EF=$\frac{1}{3}DE=2\sqrt{2}$，
AE=$\sqrt{96-24}$=6$\sqrt{2}$，AF=$\sqrt{72-8}$=8，
设球O的半径OA=OC=R，
则R²=（8-R）²+（4$\sqrt{2}$）²，
解得R=6，
∴该球的表面积S=4πR²=4π×36=144π．
故答案为：144π．

点评 本题考查正四面体的外接球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．