Question

3．已知函数f（x）=a（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）（其中x₁＞x₂＞x₃，a＞0），g（x）=4x+sin（3x+1）．若函数f（x）的两个极值点为α、β（β＜α），设λ=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，μ=$\frac{{x}_{2}+{x}_{3}}{2}$，则（　　）

• A． g（β）＜g（μ）＜g（α）＜g（λ）
• B． g（μ）＜g（β）＜g（λ）＜g（α）
• C． g（α）＜g（λ）＜g（μ）＜g（β）
• D． g（β）＜g（μ）＜g（λ）＜g（α）

Answer 1

分析 化简f（x），求函数g（x）的导数，判断函数g（x）的单调性，结合一元二次函数的性质判断α＞λ＞μ＞β，结合函数单调性的性质进行判断即可．

解答 解：由于a＞0，设f（x）=ah（x），即h（x）=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃），
由h（x）=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）可得h（x）=x³-（x₁+x₂+x₃）x²+（x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃）x-x₁x₂x₃，
∴h′（x）=3x²-2（x₁+x₂+x₃）x+（x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃）=0，
∵△=4（x₁+x₂+x₃）²-12（x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃）=2[（x₁-x₂）²+（x₂-x₃）²+（x₃-x₁）²]，
∵x₁＞x₂＞x₃．∴△＞0，∴方程h′（x）=0有两个不相等的实数根；
g′（x）=4+3cos（2x+1）＞0，
则g（x）为增函数，
下面证明α＞$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞β，
由h′（x）=3x²-2（x₁+x₂+x₃）x+（x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃）=0可得
h′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{3（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{4}$-（x₁+x₂+x₃）（x₁+x₂）+x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃-x₁x₂=-$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{4}$＜0
即h′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=3（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$-α）（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$-β）＜0，
由α＞β可得β＜$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＜α，
同理可知β＜$\frac{{x}_{2}+{x}_{3}}{2}$＜α，
∵$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞$\frac{{x}_{2}+{x}_{3}}{2}$，
∴β＜$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＜$\frac{{x}_{2}+{x}_{3}}{2}$＜α，
即α＞λ＞μ＞β，
∵g（x）为增函数，
∴g（β）＜g（μ）＜g（λ）＜g（α），
故选：D

点评 本题主要考查函数值的大小比较，根据条件判断函数的单调性，以及α＞λ＞μ＞β是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．