Question

15．平面直角坐标系xOy中，曲线C上的动点M到点F（1，0）的距离比它到直线x=-2的距离小1．
（1）求曲线C的方程；
（2）设P为曲线C上一点，曲线C在点P处的切线交y轴于点A，若△PAF外接圆面积为4π，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线定义“到定点距离等于到定直线距离的点的轨迹”求动点P的轨迹；
（2）求出切线方程，可得A的坐标，证明PF为△PAF外接圆的直径，即可求出点P的坐标．

解答 解：（1）因为曲线C上的动点M到点F（1，0）的距离比它到直线x=-2的距离小1，
所以动点M到直线x=-1的距离与它到点F（1，0）的距离相等，
故所求轨迹为：以原点为顶点，开口向右的抛物线y²=4x．
（2）设切点坐标为（m，n），则y′=$\frac{2}{y}$，
∴曲线C在点P处的切线方程为y-n=$\frac{2}{n}$（x-m），
令x=0，可得y=$\frac{2m}{n}$=$\frac{1}{2}n$，
∴A（0，$\frac{1}{2}$n），
∴k_AF=-$\frac{n}{2}$，
∴AF⊥PA，
∴PF为△PAF外接圆的直径．
∵△PAF外接圆面积为4π，
∴△PAF外接圆的半径为2，
∴|PF|=4，
∴m+1=4，
∴m=3，n=±2$\sqrt{3}$．
∴P（3，±2$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查抛物线定义、方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．