Question

8．设函数f（x）=x²-2x+mlnx+1，其中m为常数．
（1）若m≥$\frac{1}{2}$，证明：函数f（x）在定义域上是增函数；
（2）若函数f（x）有唯一极值点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据m的范围，判断导函数的符号，从而证明函数的单调性；
（2）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，从而判断函数的极值问题，求出m的具体范围．

解答 解：（1）函数定义域为（0，+∞），
$f'（m）=2x-2+\frac{m}{x}=\frac{{2{x^2}-2x+m}}{x}=\frac{{2{{（x-\frac{1}{2}）}^2}+m-\frac{1}{2}}}{x}$，
所以$m≥\frac{1}{2}$时，对x∈（0，+∞），f'（x）≥0恒成立，
所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上是增函数．
（2）由（1）知，当$m≥\frac{1}{2}$时，$f'（x）=\frac{{2{{（x-\frac{1}{2}）}^2}+m-\frac{1}{2}}}{x}≥0$，
函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，没有极值点．
当$m＜\frac{1}{2}$时，令f'（x）=0得${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-2m}}}{2}，{x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-2m}}}{2}$，
①当m≤0时，${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-2m}}}{2}≤0$，
∴${x_1}∉（0，+∞），{x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-2m}}}{2}≥1$，∴x₂∈（0，+∞）．
列表：

x	（0，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	递减	极小值	极大值

由此看出：当m≤0时，f（x）有唯一极值点${x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-2m}}}{2}$．
②当$0＜m＜\frac{1}{2}$时，0＜x₁＜x₂＜1，列表

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

由此看出，当$0＜m＜\frac{1}{2}$时，f（x）有极大值点${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-2m}}}{2}$和极小值点${x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-2m}}}{2}$．
综上，当m≤0时，函数f（x）有唯一极值点，即f（x）有唯一极值点时，实数m的取值范围为（-∞，0]．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．