题目内容
对于下列命题：
①函数f（x）=ax+1-2a在区间（0，1）内有零点的充分不必要条件是
＜a＜
；
②已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件；
③“a＜2”是“对任意的实数x，|x+1|+|x-1|≥a恒成立”的充要条件；
④“0＜m＜1”是“方程mx2+（m-1）y2=1表示双曲线”的充分必要条件．其中所有真命题的序号是 ．
①函数f（x）=ax+1-2a在区间（0，1）内有零点的充分不必要条件是
| 1 |
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②已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件；
③“a＜2”是“对任意的实数x，|x+1|+|x-1|≥a恒成立”的充要条件；
④“0＜m＜1”是“方程mx2+（m-1）y2=1表示双曲线”的充分必要条件．其中所有真命题的序号是
考点：命题的真假判断与应用
专题：简易逻辑
分析：①利用函数f（x）=ax+1-2a在区间（0，1）内有零点的充要条件是f（0）f（1）＜0，解得即可判断出；
②若甲正确，则EF与GH为异面直线，可得直线EF和GH不相交，即乙正确；
若乙正确，即直线EF和GH不相交，则可能EF∥GH，可得E，F，G，H四点共面，即甲不一定正确．
③由“对任意的实数x，|x+1|+|x-1|≥a恒成立”，利用绝对值的几何意义可得a≤（|x+1|+|x-1|）min=2；
④“方程mx2+（m-1）y2=1表示双曲线”的充分必要条件是m（m-1）＜0，解得即可．
②若甲正确，则EF与GH为异面直线，可得直线EF和GH不相交，即乙正确；
若乙正确，即直线EF和GH不相交，则可能EF∥GH，可得E，F，G，H四点共面，即甲不一定正确．
③由“对任意的实数x，|x+1|+|x-1|≥a恒成立”，利用绝对值的几何意义可得a≤（|x+1|+|x-1|）min=2；
④“方程mx2+（m-1）y2=1表示双曲线”的充分必要条件是m（m-1）＜0，解得即可．
解答：
解：①函数f（x）=ax+1-2a在区间（0，1）内有零点的充要条件是f（0）f（1）=（1-2a）（1-a）＜0，
解得
＜a＜1．因此
＜a＜
是函数f（x）在（0，1）内由零点的充分不必要条件；
②已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，
若甲正确，则EF与GH为异面直线，因此直线EF和GH不相交，即乙正确；
若乙正确，即直线EF和GH不相交，则可能EF∥GH，可知E，F，G，H四点共面，即甲不一定正确．
由以上可知：甲是乙成立的充分不必要条件，正确；
③由“对任意的实数x，|x+1|+|x-1|≥a恒成立”，
则a≤（|x+1|+|x-1|）min=2，
因此“a≤2”是“对任意的实数x，|x+1|+|x-1|≥a恒成立”的充要条件，故③不正确；
④“方程mx2+（m-1）y2=1表示双曲线”的充分必要条件是m（m-1）＜0，解得0＜m＜1．
因此“0＜m＜1”是“方程mx2+（m-1）y2=1表示双曲线”的充分必要条件，正确．
综上可知：只有①②④正确．
故答案为：①②④．
解得
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
②已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，
若甲正确，则EF与GH为异面直线，因此直线EF和GH不相交，即乙正确；
若乙正确，即直线EF和GH不相交，则可能EF∥GH，可知E，F，G，H四点共面，即甲不一定正确．
由以上可知：甲是乙成立的充分不必要条件，正确；
③由“对任意的实数x，|x+1|+|x-1|≥a恒成立”，
则a≤（|x+1|+|x-1|）min=2，
因此“a≤2”是“对任意的实数x，|x+1|+|x-1|≥a恒成立”的充要条件，故③不正确；
④“方程mx2+（m-1）y2=1表示双曲线”的充分必要条件是m（m-1）＜0，解得0＜m＜1．
因此“0＜m＜1”是“方程mx2+（m-1）y2=1表示双曲线”的充分必要条件，正确．
综上可知：只有①②④正确．
故答案为：①②④．
点评：本题考查了函数零点判定定理、空间直线位置关系、绝对值的几何意义、双曲线的标准方程等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和解决问题的能力，属于难题．
练习册系列答案
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