题目内容
若对定义在R上的可导函数f（x）恒有（4-x）f（x）+xf′（x）＞0，则f（x）（ ）
| A、恒大于等于0 |
| B、恒小于0 |
| C、恒大于0 |
| D、和0的大小关系不能确定 |
考点：导数的运算
专题：导数的概念及应用
分析：根据条件构造函数g（x）=
，利用导数研究函数g（x）的单调性和极值，进而可以判断函数f（x）的取值情况．
| x4f(x) |
| ex |
解答：
解：令g（x）=
，
∴g′（x）=
∵（4-x）f（x）+xf′（x）＞0恒成立，
∴当x＞0时，g'（x）＞0，此时函数g（x）单调递增，
当x＜0时，g'（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，
∴当x=0时，g（x）取得极小值，同时也是最小值g（0）=0，
∴g（x）=
≥g（0），
即g（x）=
，
当x≠0时，g（x）＞0，
∴当x≠0时，f（x）＞0，
∵（4-x）f（x）+xf′（x）＞0恒成立，
∴当x=0时，4f（0）+0＞0恒成立，
∴f（0）＞0，
综上无论x取何值，恒有f（x）＞0，
故选：C．
| x4f(x) |
| ex |
∴g′（x）=
| x3[(x-4)f(x)+xf′(x)] |
| ex |
∵（4-x）f（x）+xf′（x）＞0恒成立，
∴当x＞0时，g'（x）＞0，此时函数g（x）单调递增，
当x＜0时，g'（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，
∴当x=0时，g（x）取得极小值，同时也是最小值g（0）=0，
∴g（x）=
| x4f(x) |
| ex |
即g（x）=
| x4f(x) |
| ex |
当x≠0时，g（x）＞0，
∴当x≠0时，f（x）＞0，
∵（4-x）f（x）+xf′（x）＞0恒成立，
∴当x=0时，4f（0）+0＞0恒成立，
∴f（0）＞0，
综上无论x取何值，恒有f（x）＞0，
故选：C．
点评：本题主要考查函数值判断，利用条件构造函数g（x）=
是解决本题的关键，利用导数研究函数的单调性和极值，考查学生的观察能力，综合性较强，难度较大．
| x4f(x) |
| ex |
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