Question

设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间（-1，1]上，f（x）=

2x+1，-1＜x＜0 ax+2 x+1 ，0≤x≤1

．其中常数a∈R，且f（

1

2

）=f（

3

2

）．
（1）求a的值；
（2）设函数g（x）=f（x）+f（-x），x∈[-2，-1]∪[1，2]．
①求证：g（x）是偶函数；
②求函数g（x）的值域．

Answer 1

考点：函数的周期性,分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知条件推导出f（

1

2

）=

a+4

3

，f（

1

2

）=f（

3

2

）=

a+4

3

=0，由此能求出a=-4．
（2）由g（-x）=f（-x）+f（-（-x））=f（-x）+f（x）=g（x），能证明g（x）是偶函数．
②由函数g（x）的值域与函数g（x）在[1.2]上的值域相等，求出g（1）=-2，g（2）=4，从而得到g（x）=2x-

6

x-3

-7，利用导数求出g（x）在（1，2）内是增函数，由此能求出函数g（x）的值域．

解答： （1）解：f（

1

2

）=

a 2 +2

1 2 +1

=

a+4

3

，…（1分）
由函数f（x）的周期为2，
得f（

3

2

）=f（

3

2

-2）=f(-

1

2

)=2（-

1

2

）+1=0，…（3分）
∵f（

1

2

）=f（

3

2

），∴

a+4

3

=0，解得a=-4．…（4分）
（2）①证明：∵对?x∈[-2，-1]∪[1，2]，有-x∈[-2，-1]∪[1，2]，
且g（-x）=f（-x）+f（-（-x））=f（-x）+f（x）=g（x），
∴g（x）是偶函数．…（6分）
②解：由①知函数g（x）的值域与函数g（x）在[1.2]上的值域相等，
g（1）=f（1）+f（-1）=f（1）+f（-1+2）=2f（1）=-2，
g（2）=f（2）+f（-2）=2f（0）=4，…（8分）
当1＜x＜2时，-2＜-x＜-1，g（x）=f（x）+f（-x）=f（x-2）+（-x+2），
g（x）=2（x-2）+1+

-4(2-x)+2

(2-x)+1

=2x-

6

x-3

-7，…（10分）
g′(x)=2+

6

(x-3)2

＞0，g（x）在（1，2）内是增函数，…（11分）
得2-

6

1-3

-7＜g（x）＜2×2-

6

2-3

-7，即-2＜g（x）＜3，…（13分）
综上知，函数g（x）的值域为[-2，3）∪{4}．…（14分）

点评：本题考查实数值的求法，考查偶函数的证明，考查函数的值域的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．