Question

已知抛物线E：y²=2px（p＞0）的准线与x轴交于点M，过点M作圆C：（x-2）²+y²=1的两条切线，切点为A，B，|AB|=

4 2

3

．
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）过抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P，Q，若P，Q，O（O为原点）三点共线，求点N的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设AB与x轴交于点R，求出|AR|，|CR|，即可求抛物线E的方程；
（Ⅱ）求出圆D，C的方程，两圆相减，可得直线PQ的方程，利用直线PQ经过点O，即可求点N的坐标．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得M（-

p

2

，0），C（2，0）．
设AB与x轴交于点R，
由圆的对称性可知，|AR|=

2 2

3

．
于是|CR|=

|AC|2+|AR|2

=

1

3

，
所以|CM|=

|AC|

sin∠AMC

=

|AC|

sin∠CAR

=3，
即2+

p

2

=3，p=2．
故抛物线E的方程为y²=4x．…（5分）
（Ⅱ）设N（s，t）．
P，Q是NC为直径的圆D与圆C的两交点．
圆D方程为（x-

s+2

2

）²+（y-

t

2

）²=

(s-2)2+t2

4

，
即x²+y²-（s+2）x-ty+2s=0．①
又圆C方程为x²+y²-4x+3=0．②
②-①得（s-2）x+ty+3-2s=0．③…（9分）
P，Q两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ的方程．
因为直线PQ经过点O，所以3-2s=0，s=

3

2

．
故点N坐标为（

3

2

，

6

）或（

3

2

，-

6

）．…（12分）

点评：本题考查抛物线的方程，考查圆的方程，考查两圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，求得PQ的方程是关键．