Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点（1，

3

2

），其离心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过坐标原点O作不与坐标轴重合的直线l交椭圆C于P、Q两点，过P作x轴的垂线，垂足为D，连接QD并延长交椭圆C于点E，试判断随着l的转动，直线PE与l的斜率的乘积是否为定值？说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由已知条件推导出

1- b2 a2

=

1

2

，

1

a2

+

9

4b2

=1，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程是y=kx，P（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则Q（-x₁，-y₁），D（x₁，0），直线QD的方程是y=

k

2

(x-x1)，由

y= k 2 (x-x1) x2 4 + y2 3 =1

，得(3+k2)x2-2k2x1x+k2x12-12=0，由此能推导出直线PE与l的斜率的乘积是定值-

3

2

．

解答： 解：（I）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）离心率e=

1

2

，
∴

1- b2 a2

=

1

2

，3a²=4b²，
∵点（1，

3

2

）在椭圆C上，∴

1

a2

+

9

4b2

=1，
解得a²=4，b²=3，
∴椭圆C的方程是

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设直线l的方程是y=kx，P（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
则Q（-x₁，-y₁），D（x₁，0），直线QD的斜率是

y1

2x1

=

k

2

，
直线QD的方程是y=

k

2

(x-x1)，
由

y= k 2 (x-x1) x2 4 + y2 3 =1

，得(3+k2)x2-2k2x1x+k2x12-12=0，
则-x1+x2=

2k2x1

3+k2

，
∴kPE•kl=

y2-y1

x2-x1

•k
=

k 2 (x2-x1)-kx1

x2-x1

•k
=

k 2 • 2k2x1 3+k2

2k2x1 3+k2

•k
=

k 2 • 2k2x1 3+k2

2k2x1 3+k2

•k=-

3

2

．
∴直线PE与l的斜率的乘积是定值-

3

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查一条定直线与一条动直线的斜率的乘积是否为定值的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．