Question

在路边安装路灯,灯柱AB与地面垂直,灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直,且∠ABC=120°,路灯C采用锥形灯罩,射出的光线如图中阴影部分所示,已知∠ACD=60°,路宽AD=24 m,设灯柱高AB=h(m),∠ACB=θ(30°≤θ≤45°).

(1) 求灯柱的高h(用θ表示);

(2) 若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同,记此用料长度和为S,求S关于θ的函数解析式,并求出S的最小值.

　(第11题)

Answer 1

　(第11题)

(1) 因为∠ABC=120°,∠ACB=θ,

所以∠BAC=60°-θ,因为∠BAD=90°,

所以∠CAD=30°+θ,

因为∠ACD=60°,

所以∠ADC=90°-θ.

在△ACD中,

因为=,

所以AC==16cos θ.

在△ABC中,因为=,

所以AB==16sin2θ,即h=16sin2θ.

(2) 在△ABC中,因为=,

所以BC==32cos θsin(60°-θ)=8+8cos 2θ-8sin 2θ,

则S=AB+BC=8+8cos 2θ+8sin 2θ=8+16sin(2θ+60°).

因为30°≤θ≤45°,所以120°≤2θ+60°≤150°.

所以当θ=45°时,S取得最小值为(8+8) m.