Question

设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）为平面直角坐标系的两点，其中x_A，y_A，x_B，y_B∈Z，令△x=x_B-x_A，△y=y_B-y_A，若|△x|+|△y|=3，且△x•△y≠0，则称点B为A的“相关点”，记作：B=△τ（A），已知P₀（x₀，y₀）（x₀，y₀∈Z）为平面上一个定点，平面上点列{P_i}满足：P_i=τ（P_i-1），且点Pi的坐标为（x_i，y_i），其中i=1，2，3，…，n．
（1）点P₀的“相关点有

 

个；
（2）若P₀（1，0），且y₁₀=12，记T=x₀+x₁+x₂+…+x₁₀，则T的最大值为

 

．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：推理和证明

分析：（1）根据绝对值的意义，可得整数△x与△y在{±1，±2}中取值，满足绝对值的和等于3，由此可得点P₀的相关点有8个；
（2）令△x_i=x_i-x_i-1，△y_i=y_i-y_i-1（i=1，2，3，…，10），依题意可得（y₁₀-y₉）+（y₉-y₈）+…+（y₂-y₁）+（y₁-y₀）=12．由|△x_i|+|△y_i|=3且|△x_i|的|△y_i|都是非零整数，可得当△x_i=2的个数越多，且在△x₁，△x₂，△x₃，…，△x_n-1，△x_n这个序列中，数字2的位置越靠前，应的T值越大，从而得到当△y_i取值为1或-1的次数最多时，相应地△x_i取2的次数最多，可使T的值最大．进而得到本题答案．

解答： 解：（1）∵|△x|+|△y|=3，（|△x|•|△y|≠0）
∴|△x|=1且|△y|=2，或|△x|=2且|△y|=1，
∴点P₀的相关点有8个．
（2）令△x_i=x_i-x_i-1，△y_i=y_i-y_i-1，（i=1，2，3，…，n）
依题意（y₁₀-y₉）+（y₉-y₈）+…+（y₂-y₁）+（y₁-y₀）=12，
∵T=x₀+x₁+x₂+…+x₁₀=1+（1+△x₁）+（1+△x₁+△x₂）+…+（1+△x₁+△x₂+…+△x₁₀）
=11+10△x₁+9△x₂+…+2△x₉+△x₁₀）…（10分）
∵|△x_i|+|△y_i|=3，且|△x_i|的|△y_i|都是非零整数，
∴当△x_i=2的个数越多，则T的值越大，
∵在△x₁，△x₂，△x₃，…，△x₉，△x₁₀这个序列中，数字2的位置越靠前，相应的值越大
且当△y_i取值为1或-1的次数最多时，△x_i取2的次数才能最多，T的值才能最大．
由（y₁₀-y₉）+（y₉-y₈）+…+（y₂-y₁）+（y₁-y₀）=12，
可得：所有的△y_i中至有8个1，此时△x_i都取2，
而其它的△y_i都即2，此时△x_i都取1，
得T=11+2（1+2+…+8）+9+10=121．
故答案为：8，102

点评：本题给出平面坐标系内“相关点”的定义，讨论了T的最大值问题．着重考查了绝对值的意义、等差数列的求和公式、方程的整数解和圆的标准方程等知识，属于难题．请同学们注意答过程中逐项作差再累加求和、分类讨论思想和转化化归方法的运用．