Question

已知数列{a_n}满足a₁=，a_n=（n≥2，n∈N）．
（1）试判断数列{+（-1）ⁿ}是否为等比数列，并说明理由；
（2）设b_n=，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）设c_n=a_nsin，数列{c_n}的前n项和为T_n．求证：对任意的n∈N^*，T_n＜2．

Answer 1

【答案】分析：（（1）根据题意，对a_n=（n≥2）进行变形可得==从而证得结论；
（2）根据（1）求出数列a_n，从而求得b_n，利用分组求和法即可求得结果；
（3）首先确定出数列{c_n}的通项公式，利用放缩的思想将数列的每一项进行放缩，转化为特殊数列的求和问题达到证明不等式的目的．
解答：解：（1）由a_n=得：==
∴==
又∵a₁=，∴=2-1=1
∴数列列{+（-1）ⁿ}是首项为1，公比为-2的等比数列．
（2）由（1）的结论有，
即．
∴b_n==（1+2^n-1）²=1+2ⁿ+4^n-1
∴S_n=（1+2+4）+（1+2²+4¹）+…+（1+2ⁿ+4^n-1）
=（1+1+…+1）+（2+2²+…+2ⁿ）+（4+4¹+…+4^n-1）
=
=
（3）∵===（-1）^n-1
由c_n=a_nsin==
∴T_n=+…+
==
∴对任意的n∈N^*，T_n＜2
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列，求解数列的通项公式，分组求和及等比数列求和公式的应用．