题目内容
已知数列{an}满足：a1=| 3 |
| 2 |
| 3nan-1 |
| 2an-1+n-1 |
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
分析：（1）将条件变为：1-
=
(1-
)，因此{1-
}为一个等比数列，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）a1•a2•an=
，为证a1•a2•an＜2•n！只要证n∈N*时有(1-
)•(1-
)(1-
)＞
．再由数数归纳法进行证明．
| n |
| an |
| 1 |
| 3 |
| n-1 |
| an-1 |
| n |
| an |
（2）a1•a2•an=
| n！ | ||||||
(1-
|
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| 3n |
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）将条件变为：1-
=
(1-
)，因此{1-
}为一个等比数列，其首项为
1-
=
，公比
，从而1-
=
，
据此得an=
（n≥1）1°
（2）证：据1°得，a1•a2•an=
为证a1•a2•an＜2•n！
只要证n∈N*时有(1-
)•(1-
)(1-
)＞
2°
显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个n∈N*，有(1-
)•(1-
)(1-
)≥1-（
+
+…+
）3°
用数学归纳法证明3°式：
（1）n=1时，3°式显然成立，
（2）设n=k时，3°式成立，
即(1-
)•(1-
)(1-
)≥1-（
+
+…+
）
则当n=k+1时，(1-
)•(1-
)•(1-
)•(1-
)≥〔1-（
+
+…+
）〕•（1-
）
=1-（
+
+…+
）-
+
（
+
+…+
）≥
1-（
+
+…+
+
）即当n=k+1时，3°式也成立．
故对一切n∈N*，3°式都成立．
利用3°得，(1-
)•(1-
)(1-
)≥1-（
+
+…+
）=1-
=1-
〔1-(
)n〕=
+
(
)n＞
故2°式成立，从而结论成立．
| n |
| an |
| 1 |
| 3 |
| n-1 |
| an-1 |
| n |
| an |
1-
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| n |
| an |
| 1 |
| 3n |
据此得an=
| n•3n |
| 3n-1 |
（2）证：据1°得，a1•a2•an=
| n！ | ||||||
(1-
|
为证a1•a2•an＜2•n！
只要证n∈N*时有(1-
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| 3n |
| 1 |
| 2 |
显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个n∈N*，有(1-
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| 3n |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| 3n |
用数学归纳法证明3°式：
（1）n=1时，3°式显然成立，
（2）设n=k时，3°式成立，
即(1-
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| 3k |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| 3k |
则当n=k+1时，(1-
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| 3k |
| 1 |
| 3k+1 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| 3k |
| 1 |
| 3k+1 |
=1-（
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| 3k |
| 1 |
| 3k+1 |
| 1 |
| 3k+1 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| 3k |
1-（
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| 3k |
| 1 |
| 3k+1 |
故对一切n∈N*，3°式都成立．
利用3°得，(1-
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| 3n |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| 3n |
| ||||
1-
|
=1-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
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故2°式成立，从而结论成立．
点评：本题考查数列的性质和综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘题中的隐含条件．
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