题目内容

已知数列{an}满足:a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
, n∈N*

(1)若数列{bn}满足:bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)
,试证明数列bn-1是等比数列;
(2)求数列{anbn}的前n项和Sn
(3)数列{an-bn}是否存在最大项,如果存在求出,若不存在说明理由.
分析:(1)由
bn+1-1
bn-1
=
1
an+1-
1
2
-1
1
an-
1
2
-1
=
1
3+4an
12-4an
-
1
2
-1
1-an+
1
2
an-
1
2
=
15-10an
6an-3
3-2an
2an-1
=
5
3
.知数列{bn-1}是等比数列.
(2)由bn=
1
an-
1
2
,得anbn=1+
1
2
bn
,知anbn=1+
1
2
[1+(
5
3
)n-1]=
3
2
+
1
2
(
5
3
)n-1
,由此知Sn=
n
k=1
[
3
2
+
1
2
(
5
3
)
n-1
]=
3
2
n+
1
2
[(
5
3
)
n
-1]
5
3
-1
=
3
2
n+
3
4
(
5
3
)n-
3
4

(3)由bn=
1
an-
1
2
,得an=
1
bn
+
1
2
,∴an-bn=
1
bn
+
1
2
-bn=
1
bn
-bn+
1
2
、又由(2)知,bn=1+(
5
3
)n-1
,数列{bn}单调递增,所以数列an-bn为单调递减数列,由此知数列an-bn中存在最大项且为该数列中的首项,其值为-1.
解答:解:(1)∵
bn+1-1
bn-1
=
1
an+1-
1
2
-1
1
an-
1
2
-1
=
1
3+4an
12-4an
-
1
2
-1
1-an+
1
2
an-
1
2
=
15-10an
6an-3
3-2an
2an-1
=
5
3

∴数列{bn-1}是等比数列,首项为b1-1=
1
a1-
1
2
-1=1
,公比为
5
3

(2)由bn=
1
an-
1
2
,得anbn=1+
1
2
bn

由(1)得bn-1=(
5
3
)n-1, ∴bn=1+(
5
3
)n-1

anbn=1+
1
2
[1+(
5
3
)n-1]=
3
2
+
1
2
(
5
3
)n-1

Sn=
n
k=1
[
3
2
+
1
2
(
5
3
)
n-1
]=
3
2
n+
1
2
[(
5
3
)
n
-1]
5
3
-1
=
3
2
n+
3
4
(
5
3
)n-
3
4

(3)由bn=
1
an-
1
2
,得an=
1
bn
+
1
2

an-bn=
1
bn
+
1
2
-bn=
1
bn
-bn+
1
2

又由(2)知,bn=1+(
5
3
)n-1

∴数列{bn}单调递增,∴{
1
bn
}
与-bn均为递减数列、∴数列{an-bn}为单调递减数列,
∴当n=1时,a1-b1=1-2=-1最大,即数列{an-bn}中存在最大项且为该数列中的首项,其值为-1、
点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.
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