Question

13．如图所示，AB为圆D的直径，BC为圆O的切线，过A作OC的平行线交圆O于D，BD与OC相交于E．
（I）求证：CD为圆O的切线；
（Ⅱ）若OA=AD=4，求OC的长．

Answer 1

分析 （I）连接OD，证明△OBC≌△ODC，可得∠ODC=∠OBC=90°，即可证明CD为圆O的切线；
（Ⅱ）Rt△OBC中，BE⊥OC，OB²=OE•OC，即可求OC的长．

解答 （I）证明：连接OD．
∵AB为圆D的直径，
∴AD⊥DB，
∵AD∥OC，
∴BD⊥OC，
∴E为BD的中点，
∴CB=CD，
∴△OBC≌△ODC，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴CD为圆O的切线；
（Ⅱ）解：由题意，OB=OA=4，OE=$\frac{1}{2}$AD=2，
Rt△OBC中，BE⊥OC，
∴OB²=OE•OC，
∴OC=$\frac{O{B}^{2}}{OE}$=8．

点评 本题考查圆的切线的证明，考查射影定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．