Question

18．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]
（Ⅰ）求频率分布图中a的值；
（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（Ⅲ）求出本次评分的众数、中位数、平均数．

Answer 1

分析 （1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；
（2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；
（3）根据样本的频率分布直方图，求出样本数据落在[70，80）内的频数，估计出众数，然后求出中位数和平均数

解答 解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1，解得a=0.006；
（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；
（3）∵频率最高的是[70，80），∴估计众数是$\frac{70+80}{2}$=75；
而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标
第一个矩形的面积是0.04，第二个矩形的面积是0.06，第三个矩形的面积是0.22，第四个矩形的面积是0.28，第五个矩形的面积是0.22，最后一个矩形的面积和是0.18，
由图可判断中位数落在区间（70，80）内，设为x，
可得（80-x）×0.028+0.22+0.18=0.5，解得x=76.43．
∴中位数是（0.28+0.22）×$\frac{1}{2}×50$=12.5．
根据样本的频率分布直方图，可估算样本平均数为
$\overline{x}$=45×0.04+55×0.06+65×0.22+75×0.28+85×0.22+95×0.18=80，
由样本的平均数和中位数可估计总体的平均数为80，中位数为76.43．

点评 本题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频率估计概率，考查了众数、中位数、平均数的求法．