Question

17．若f（x）=-x²+ax+2+lg（2-|x|）（a∈R）是偶函数，且f（1-m）＜f（m），则实数m的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． （-∞，$\frac{1}{2}$）
• C． （$\frac{1}{2}$，2）
• D． （-1，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 利用f（x）=-x²+ax+2+lg（2-|x|）（a∈R）是偶函数，求出a，确定定义域为（-2，2），在（0，2）上单调递减，f（1一m）＜f（m），化为2＞|1一m|＞|m|，即可求出实数m的取值范围．

解答 解：∵f（x）=-x²+ax+2+lg（2-|x|）（a∈R）是偶函数，
∴f（-x）=f（x）即-x²-ax+2+lg（2-|x|）=-x²+ax+2+lg（2-|x|），
∴a=0，
∴f（x）=-x²+2+lg（2-|x|）定义域为（-2，2），在（0，2）上单调递减，
∵函数是偶函数，且f（1-m）＜f（m），
∴f（|1-m|）＜f（|m|），
∴2＞|1-m|＞|m|，
∴-1＜m＜$\frac{1}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生的计算能力，正确转化是关键，属于中档题．