Question

9．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=$\frac{[x]}{x}$（x＞0），则给出以下四个结论正确的是（　　）

• A． 函数f（x）的值域为[0，1]
• B． 函数f（x）的图象是一条曲线
• C． 函数f（x）是（0，+∞）上的减函数
• D． 函数g（x）=f（x）-a有且仅有3个零点时$\frac{3}{4}$＜a≤$\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 （x）=$\frac{[x]}{x}$（x＞0）的值域不包含（0，$\frac{1}{2}$]，由此能判断A的正误；函数f（x）的图象是不连续的线段，由此能判断B和C的正误；在D中：由题意可得方程$\frac{|x|}{x}$=a在（0，+∞）上有且仅有3个实数根，且a≥0，[x]=1，2，3，分别求出[x]=1，2，3，4时，a的范围，从而确定满足条件的a的范围．

解答 解：在A中，f（x）=$\frac{[x]}{x}$（x＞0）的值域不包含（0，$\frac{1}{2}$]，故A不正确；
在B中，函数f（x）的图象是不连续的线段，故B不正确；
在C中，函数f（x）的图象是不连续的线段，故C不正确；
在D中，∵$f（x）=\frac{[x]}{x}-a，x＞0$有且仅有3个零点，∴方程$\frac{[x]}{x}$=a在（0，+∞）上有且仅有3个实数根，且a≥0，
∵x＞0，∴[x]≥0，若[x]=0，则$\frac{[x]}{x}$=0；
若[x]≥1，∵[x]≤x＜[x]+1，∴$\frac{[x]}{[x]+1}＜\frac{[x]}{x}≤1$，∴$\frac{[x]}{[x]+1}＜a≤1$，
且$\frac{[x]}{[x]+1}$随[x]的增大而增大，
故不同的[x]对应不同的a值，故有[x]=1，2，3，
若[x]=1，则有$\frac{1}{2}＜\frac{[x]}{x}≤1$；若[x]=2，则有$\frac{2}{3}＜\frac{[x]}{x}≤1$；若[x]=3，则有$\frac{3}{4}＜\frac{[x]}{x}≤1$；
若[x]=4，则有$\frac{4}{5}$＜$\frac{[x]}{x}$≤1．
∴$\frac{3}{4}＜a≤\frac{4}{5}$．故D正确．
故选：D．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数的性质的合理运用．