Question

5．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[0，1]上单调递增，设a=f（3），b=f（$\sqrt{2}$），c=f（2），则a，b，c大小关系是（　　）

• A． b＞c＞a
• B． a＞c＞b
• C． a＞b＞c
• D． c＞b＞a

Answer 1

分析 由条件可得函数的周期为2，再根据a=f（3）=f（1），b=f（$\sqrt{2}$）=f（2-$\sqrt{2}$），c=f（2）=f（0），0＜2-$\sqrt{2}$＜1，且函数f（x）在[0，1]上单调递增，可得a，b，c大小关系．

解答 解：∵偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
∴函数的周期为2．
由于a=f（3）=f（1），b=f（$\sqrt{2}$）=f（2-$\sqrt{2}$），c=f（2）=f（0），
由于0＜2-$\sqrt{2}$＜1，且函数f（x）在[0，1]上单调递增，
∴a＞b＞c，
故选C．

点评 本题主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．