Question

2．如图所示，正方形ABCD的边长为2，且平面ABCD⊥平面ABE，AE=BE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求点F到平面ABCD的距离．

Answer 1

分析 （1）推导出BF⊥AE，BC⊥AB，从而BC⊥AE，由此能证明AE⊥平面BCE．
（2）推导出AE=BE=$\sqrt{2}$，CF=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，作EG⊥AB于G，FH⊥面ABCD，EG=1，从而$\frac{EG}{FH}=\frac{EC}{FC}=\frac{3}{2}$，由此能求出FH．

解答 证明：（1）∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，
又平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，
∴BC⊥平面ABE，∴BC⊥AE，
又BF?平面BCE，BC?平面BCE，BF∩BC=B，
∴AE⊥平面BCE．
解：（2）∵AB=2，∴AE=BE=$\sqrt{2}$，
∴CE=$\sqrt{6}$，BC²=CF•CE，∴CF=$\frac{4}{\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
EG⊥AB于G，FH⊥面ABCD，
C、G、H三点共线，又EG=1，
∴$\frac{EG}{FH}=\frac{EC}{FC}=\frac{3}{2}$，∴FH=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．