Question

已知数列的各项均为正数，记,,

 .

（Ⅰ）若，且对任意，三个数组成等差数列，求数列的通项公式.

（Ⅱ）证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列.

Answer 1

(Ⅰ) 因为对任意，三个数是等差数列，

所以.                           ………1分

所以,                                      ………2分

即.                                    ………3分

所以数列是首项为１，公差为４的等差数列.                 ………4分

所以.                                ………5分

（Ⅱ）（１）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，则

　　　                .                     ………6分

所以得    

即.                                     ………7分

　　     因为当时，由可得，                 ………8分

所以.

因为，

所以.                                         

即数列是首项为，公比为的等比数列，                ………9分

（２）必要性：若数列是公比为的等比数列，则对任意，有

.                                               ………10分

因为，

所以均大于.于是

　　　　               ………11分

　　　　             ………12分

即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列.

………13分

综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数组成公比为的等比数列.                ………14分