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6．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2-c2=3b，且sinAcosC=2cosAsinC，则b=9．分析 利用正余弦定理求解即可．sinAcosC=2cosAsinC，可得acosC=2c•cosA，再由余弦定理：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，a2-c2=3b，带入即可求解．
解答 解：由余弦定理：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
由题意：∵sinAcosC=2cosAsinC，
∴acosC=2c•cosA，则：$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2b}$=2×$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2b}$
∵a2-c2=3b，
所以有：$\frac{b+3}{2}$=b-3
解得：b=9
故答案为9．
点评 本题考查了利用正余弦定理运用能力和计算能力．属于基础题．
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如图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．
1．已知a=logπ3，b=logπ4，c=log34，则a，b，c的大小关系为（ ）
| A． | a＜b＜c | B． | b＜a＜c | C． | a＜c＜b | D． | c＜a＜b |
11．已知向量$\overrightarrow{AB}$与向量$\overrightarrow{AC}$的夹角为$θ，|{\overrightarrow{AB}}|=3，|{\overrightarrow{AC}}|=2$，设向量$\overrightarrow{AP}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$，若$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BC}$，则θ的大小为（ ）
| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{4}$ | C． | $\frac{2π}{3}$ | D． | $\frac{5π}{6}$ |