Question

16．已知圆C：x²+y²-2x-4y-20=0，直线l：（2m-1）x+（m+1）y-6m-4=0．
（1）求证：直线l与圆C相交；
（2）计算直线l被圆C截得的最短的弦长．

Answer 1

分析 （1）由直线方程可知直线过定点，证明直线与圆相交只需证明直线过的定点在圆的内部；（2）相交弦长最短时圆心到直线的距离最大，结合图形可知此距离为直线过的定点与圆心的距离，求得距离后利用弦长的一半，距离，圆的半径构成的直角三角形求弦长．

解答 （1）证明：圆的标准方程为：（x-1）²+（y-2）²=25，圆心（1，2）半径r=5；
直线l：（2m-1）x+（m+1）y-6m-4=0
当m+1≠0时，直线L可转换为：y-$\frac{14}{3}$=$\frac{1-2m}{m+1}$（x-$\frac{2}{3}$）；
当m+1=0时，直线L为：x=$\frac{2}{3}$
∴直线L恒过定点M（$\frac{2}{3}$，$\frac{14}{3}$）
∵（$\frac{2}{3}$-1）²+（$\frac{14}{3}$-2）²＜25，
所以点M在圆内部，则直线与圆必相交．
解：（2）当CM垂直弦AB时，弦长最短，设弦长为x．
（CM）²=（1-$\frac{1}{3}$）²+（2-$\frac{14}{3}$）²；
（$\frac{x}{2}$）²=25-（CM）²；
∴x=$\frac{8\sqrt{10}}{3}$
故最短弦长为：$\frac{8\sqrt{10}}{3}$

点评 本题主要考查了直线与圆相交的弦长问题以及直线与圆位置关系的判定，属基础题型．