Question

14．如图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．
（1）证明：AC•BD=AD•AB；
（2）若AD=4，AC=2AB，求DE．

Answer 1

分析 （1）利用弦切角定理得出∠CAB=∠ADB，∠ACB=∠DAB，从而△ACB∽△DAB，即可证明结论；
（2）证明△EAD∽△ABD，可得AE•BD=AD•AB结合（1）的结论，AC=AE，即可得出结论．

解答 （1）证明：由AC与圆O′相切于点A，得∠CAB=∠ADB，
同理，∠ACB=∠DAB，
从而△ACB∽△DAB，
所以$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{BD}$，
所以AC•BD=AD•AB．
（2）解：由AD与⊙O相切于A，得∠AED=∠BDA，又∠ADE=∠BDA，
得△EAD∽△ABD，从而$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{BD}$=$\frac{DE}{AD}$，
即AE•BD=AD•AB
结合（1）的结论，AC=AE．
又AD=4，AC=2AB，所以DE=$\frac{1}{2}AD$=2．

点评 本题考查弦切角定理，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．