Question

已知数列{a_n}中，a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3），则a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：把给出的数列递推式变形，得到两个等比数列{a_n+a_n-1}与{a_n-3a_n-1}，求出其通项公式联立方程组求解a_n．

解答： 解：由a_n=2a_n-1+3a_n-2，得a_n+a_n-1=3（a_n-1+a_n-2）（n≥3），
∵a₁=5，a₂=2，
∴a₁+a₂=7≠0
∴数列{a_n+a_n-1}是以7为首项，以3为公比的等比数列，
∴an+an-1=(a2+a1)•3n-2=7×3n-2①
再由a_n=2a_n-1+3a_n-2，得a_n-3a_n-1=-（a_n-1-3a_n-2）（n≥3），
∵a₁=5，a₂=2，
∴a₂-3a₁=2-3×5=-13≠0，
∴数列{a_n-3a_n-1}是以-13为首项，以-1为公比的等比数列，
∴an-3an-1=(a2-3a1)•(-1)n-2=(-1)n-1×13②，
由①②联立求得an=

1

4

[3n-1×7+(-1)n-1×13]（n≥3）．
验证a₁=5，a₂=2适合上式，
∴an=

1

4

[3n-1×7+(-1)n-1×13]．
故答案为：

1

4

[3n-1×7+(-1)n-1×13]．

点评：本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，关键是考查学生观察问题和分析问题的能力，是中档题．